МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. ВЫСШАЯ АЛГЕБРА Конспект лекций. С другой стороны, в математике, как и в жизни, часто приходится рассматривать упорядоченные совокупности объектов. Методическое пособие предназначено для преподавателей математики в техникумах, а также для студентов второго курса, всех специальностей. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. Основы аналитической геометрии 1. Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы. Основы аналитической геометрии. Основные понятия аналитической геометрии. Уравнения окружности и сферы. Аналитическая геометрия – это геометрия, изучаемая средствами алгебры с использованием систем координат. В аналитической геометрии устанавливаются соответствия: Уравнением линии на плоскости (уравнением поверхности в пространстве) называют уравнение, которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые принадлежат линии (поверхности). Та математична статистика, Барковський В.В., Барковська Н. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економ Вища математика для економ. В аналитической геометрии устанавливаются соответствия. Математика для економ Каждому уравнению с двумя (тремя) переменными соответствует линия на плоскости (поверхность в пространстве), являющаяся геометрическим местом тех и только тех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Пусть дана окружность на плоскости с центром в точке и радиусом R. Для тех и только тех точек M, которые принадлежат окружности , или, в силу : ,. Откуда: Последнее уравнение является общим уравнением окружности. Аналогично для сферы в пространстве может быть получено уравнение: где a,b,c – координаты центра сферы. Общие уравнения плоскости в пространстве и прямой на плоскости. Рис. 3. 2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку и ортогональной вектору нормали. Пусть gif. Для тех и только тех точек M, которые принадлежат плоскости, вектор n ортогонален вектору . Вектор : ,, или, где полученное уравнение называется общим уравнением плоскости. Постановка и классификация задач математического программирования. Математическое программирование, Учебник. Книга 'Вища математика для економ Анализ ошибок абитуриентов по математике Вища школа, 1975 г. Книга Лэнгдон, Н В мире математики и калькуляторов Педагогика, 1990 г. Учитывая, что,уравнение плоскости можно записать в виде: , где . Аналогично может быть получено общее уравнение прямой на плоскости. Проведем исследование общего уравнения плоскости. Уравнение принимает вид. Плоскость проходит через начало координат. Пусть только одна из координат вектора нормали равна нулю; пусть, например, . Уравнение принимает вид. Плоскость параллельна оси абсцисс и пересекается с координатной плоскостью y. Oz по прямой . 3. Пусть только одна из координат вектора нормали отлична от нуля; пусть, например, . Уравнение принимает вид. Рис. 3. 3. Плоскость параллельна плоскости x. Oy и находится от нее на расстоянии . Пусть все координаты вектора нормали отличны от нуля. Тогда плоскость не параллельна ни одной из координатных осей и отсекает на них отрезки , и (рис. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Найдем уравнение прямой, параллельной направляющему вектору и проходящей через фиксированную точку . Пусть – произвольная точка. Для тех и только тех точек M, которые принадлежат прямой, вектор d коллинеарен вектору : ,,где t – число, называемое параметром. Последнее уравнение называется параметрическим уравнением прямой. Если все координаты направляющего вектора – ненулевые, то параметр можно исключить. Последнее уравнение называется каноническим уравнением прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть прямая на плоскости не ортогональна оси абсцисс. Тогда в общем уравнении прямойкоэффициент при второй координате отличен от нуля: . Разделим уравнение на B. Положим , . Уравнение примет вид. Последнее уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент k равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс. При правая часть равна b; следовательно, b есть ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Параметрическое уравнение плоскости. Найдем уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку и параллельной векторам и . Пусть – произвольная точка. Для тех и только тех точек M, которые принадлежат плоскости, вектор есть линейная комбинация векторов d. Последнее уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Замечание 3. 5. 1. Нетрудно видеть, что параметрическое уравнение плоскости, в отличие от параметрического уравнения прямой, содержит два параметра p и q. Замечание 3. 5. 2. Параметрическое уравнение плоскости, в отличие от параметрического уравнения прямой, не является удобным для практического использования. Поэтому, если известны два параллельных плоскости вектора d. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. В общем уравнении плоскостичисла A, B и C являются координатами вектора нормали. Часто оказывается удобным наложить на вектор нормали два дополнительных ограничения: 1. Вектор нормали должен иметь единичную длину. Вектор нормали должен быть направлен в полупространство, не содержащее начала координат. При выполнении указанных ограничений говорят, что уравнение плоскости приведено к нормальному виду. Для приведения уравнения к нормальному виду следует умножить обе части на нормирующий множитель , знак которого противоположен знаку свободного члена: , где . Пусть даны точка и плоскость . Пусть d – расстояние от точки M1 до плоскости: ,где – проекция точки M1 на плоскость. Тогда, . Так как точка принадлежит плоскости, то . Умножая обе части равенства скалярно на вектор n. Искомое расстояние,или, в развернутой форме. Аналогично определяется расстояние от точки до прямой на плоскости. Таким образом, расстояние от точки до плоскости (до прямой на плоскости) равно абсолютной величине результата подстановки координат точки в нормальное уравнение плоскости (прямой). Углы между прямыми и плоскостями. Так как вектор нормали прямой или плоскости может иметь любое из двух противоположных направлений, то углы определяются с точностью до слагаемого, кратного . Пусть на плоскости даны две прямые. Угол между ними есть угол между их векторами нормали. Условие перпендикулярности прямых. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их векторы нормали коллинеарны: , или. Если при этом : ,то прямые совпадают. Пусть две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Тогда угол между прямыми удобно определить из соотношения. Пусть даны две плоскости. Угол между двумя плоскостями есть угол между их векторами нормали. Условие перпендикулярности плоскостей. Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их векторы нормали коллинеарны: , или. Если при этом : ,то плоскости совпадают. Кривые второго порядка. Эллипс. Кривой второго порядка называется кривая, заданная уравнением второй степени. Коэффициенты A, B и C не равны нулю одновременно. Коэффициенты при произведении переменных и при первых степенях обозначены 2. B, 2. D и 2. E, так как в большинстве соотношений встречаются половины этих коэффициентов. Если точек с координатами, удовлетворяющими уравнению, не существует, то говорят, что уравнение определяет мнимую кривую. Пример такого уравнения – . Рис. 3. 4. Отметим на оси Ox точки и . Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек – фокусов эллипса. F1 и F2 – есть величина постоянная и равная 2a. Имеем: , . По определению : ; . Возведем обе части в квадрат. Повторно возводя в квадрат. Обозначим: (). Тогда. Разделив последнее равенство на , получим. Последнее уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Замена в уравнении эллипса x и y на - x и - y соответственно не приводит к изменению уравнения эллипса. Эллипс симметричен относительно координатных осей. Уравнение эллипса можно записать в параметрической форме: , . Действительно, подставляя координаты точки в уравнение эллипса, получим. Следовательно, точка принадлежит эллипсу. Гипербола. Рис. 3. Отметим на оси Ox точки и . Гиперболой называется множество точек, разность расстояний которых до двух фиксированных точек – фокусов гиперболы и – есть величина постоянная и равная 2a. Имеем. По определению. Перенося радикал в правую часть и возводя уравнение в квадрат, получим: , . Обозначим и повторно возведем обе части в квадрат. Разделив обе части на , получим. Последнее уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Точка M в рассмотренном случае принадлежала правой ветви. Из симметрии гиперболы относительно Oy следует существование левой ветви, уравнение которой может быть получено из рассмотрения равенства. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояния точек кривой до прямой сколь угодно малы при достаточном удалении точек кривой от начала координат. Докажем, что прямые являются асимптотами гиперболы. Достаточно показать, что разность ординат прямой и гиперболы в первой четверти стремиться к нулю при неограниченном увеличении абсциссы: при . Числитель последнего выражения есть величина постоянная, и знаменатель при неограниченно возрастает. Поэтому: при , что и требовалось доказать. Можно записать уравнение гиперболы в параметрической форме. Для правой ветви. Функции и носят название гиперболического косинуса и гиперболического синуса. Парабола. Рис. 3. Отметим на оси Ox точку . Проведем прямую – директрису параболы. Параболой называется множество точек , равноудаленных от директрисы и фиксированной точки – фокуса параболы. Имеем: ;; ; . Последнее уравнение называется каноническим уравнением параболы. Парабола асимптот не имеет. Поверхности второго порядка. Эллипсоид, конус. Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид: Ax. By. 2+Cz. 2+2. Dyz+2. Exz+2. Fxy+2. Gx+2. Hy+2. Kz+L=0. Это уравнение может определять эллипсоид, однополостной или двуполостной гиперболоиды, эллиптический или гиперболический параболоиды, цилиндрическую или коническую поверхность; совокупность двух плоскостей, прямую, точку, или же не определять ни одной точки. Эллипсоидом называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Из уравнения эллипсоида следуют неравенства , , . Эллипсоид целиком содержится внутри прямоугольного параллелепипеда размеров 2a, 2b и 2c. Замена в уравнении эллипсоида x, y и z на –x, –y и –z не меняет уравнения. Эллипсоид симметричен относительно любой координатной плоскости, любой координатной оси и начала координат. Для исследования формы эллипсоида воспользуемся методом сечений. Сечение эллипсоида плоскостью z=h есть эллипс: с полуосями и . При : ; сечения эллипсоида плоскостями есть точки . При плоскость не пересекается с эллипсоидом. Рис. 3. 7. Аналогично устанавливается характер сечений плоскостями и . Если все полуоси a, b, c различны, то эллипсоид называется трехосным; если две полуоси одинаковы, то он называется эллипсоидом вращения. Например, при , уравнение эллипсоида определяет поверхность, полученную вращением эллипса вокруг оси .
0 Comments
Leave a Reply. |
AuthorWrite something about yourself. No need to be fancy, just an overview. Archives
November 2016
Categories |